ARIS projekt J1-4632: »Parametrizirane družine čudnih atraktorjev predstavljene preko inverznih limit: študija z vidika topologije in teorije mere«
Vodilni partner: Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko
Vodja projekta: Jernej Činč
Trajanje projekta: januar 2023 – oktober 2025
Ostali člani projekta:
Namen projekta
Namen tega projekta je preučiti topološke, dinamične in ergodične vidike dvodimenzionalne paradigme kaosa, imenovane Hénonovi atraktorj, in konstruirati nove parametrizirane družine čudnih atraktorjev, ki se pojavljajo v diferenciabilinih dinamičnih sistemih. Kljub temu, da so Hénonovi atraktorji matematikom poznani že več kot 40 let, topologija teh atraktorjev še ni podrobno raziskana. Glavna ovira za tako študijo je bila pomanjkanje tehnik potrebnih za njeno izvedbo. Na podlagi nedavnega napredka pri opisovanju parametriziranih družin čudnih atraktorjev z upora inverznih mej se bomo poglobili v tako podrobno študijo in podali nove rezultate o topoloških, dinamičnih in ergodičnih lastnostih, ki se pojavljajo v parametriziranih družinah čudnih atraktorjev.
Cilji projekta
Cilji predlaganega projekta so povzeti v naslednjih treh globalnih problemih.
Naš prvi globalni problem predlaga, da konstruiramo novo dvoparametrsko družino atraktorjev in jo preučimo z uporabo obstoječih tehnik.
Problem 1: Konstruiraj in podrobno preuči topološke in mersko-teoretične vidike dvoparametrske družine čudnih atraktorjev induciranih iz standardne Arnol’dova družine endomorfizmov na krožnici, in vzpostavi povezavo s parametrizirano družino difeomorfizmov na anulusu.
Drugi globalni problem obravnava dobro znano družino Hénonovih atraktorjev. Zgleduje se po nedavno predstavljeni reprezentaciji tranzitivnih Hénonovih atraktorjev preko inverznih limit v članku od Borońskega in Štimaceve.
Problem 2: Opiši topologijo Hénonovih atraktorjev za parametre, kjer je Hénonova funkcija tranzitivna.
V generalnem našemo področju manjka razumevanje topoloških obstrukcij, ki dovoljujejo/preprečujejo obstoj določenih tipov homeomorfizmov na enodimenzionalnih kontinuumih. Zato predlagamo preučitev naslednjega problema.
Problem 3: Preuči vlogo topoloških obstrukcij v enodimenzionalnih kontinuumih, ki preprečujejo obstoj različnih tipov kaotičnih homeomorfizmih na njih.
Zadnji globalni problem je motiviran z nedavnim napredkom Oproche in vodje projekta, kjer sva konstruirala nenavadno parametrizirano družino planarnih homeomorfizmov, ki imajo bogato dinamično obnašanje na atraktorjih, vendar so vsi atraktorji homeomorfni edinstvenemu topološkemu prostoru, imenovanemu psevdolok. Končni globalni problem sprašuje o podobnih rezultatih kot v omenjenem projektu za difeomorfizme namesto homeomorfizmov.
Problem 4: Preuči vlogo psevdoloka in psevdokrožnice v parametriziranih družinah čudnih atraktorjev, pridobljenih iz diferenciabilnih dinamičnih sistemov.
Financiranje:
Projekt financira ARIS, Javna agencija za znanstvenoraziskovalno in inovacijsko dejavnost Republike Slovenije, financiranja znaša 100.000 €/leto.
Rezultati projekta
Osrednja raziskovalna hipoteza projekta je bila, da je mogoče izbrane razrede atraktorjev, homeomorfizmov in sorodnih dinamičnih sistemov učinkovito raziskovati s kombinacijo topoloških, dinamičnih in merskoteoretičnih pristopov, zlasti z uporabo metod inverznih limit. Raziskave so potekale v tesnem mednarodnem sodelovanju. Zaradi dolgotrajnih recenzijskih postopkov na področju temeljne matematike ob zaključku projekta vsi rezultati še niso objavljeni v končni obliki; zato so v nadaljevanju navedeni predvsem rezultati, podprti z bibliografskimi enotami v COBISS.
C1 – Atraktorji, pridobljeni iz Arnol’dove družine
Cilj: Razviti topološki in dinamični opis atraktorjev, povezanih z Arnol’dovo družino.
V tem sklopu je bil razvit formalen okvir za obravnavo inverznih limit in Markovskih večvrednostnih funkcij, ki omogoča modeliranje kompleksnih atraktorjev. Rezultati predstavljajo teoretično osnovo za klasifikacijo teh struktur ter njihovo povezavo z dinamiko na kontinuumih [1]–[4].
Reference (C1):
[1] BANIČ, Iztok, ČREPNJAK, Matevž, KAC, Teja. Markov set-valued functions on compact metric spaces. Glasnik matematički. Serija 3. 2024, vol. 59, no. 1, str. 193–212. DOI: 10.3336/gm.59.1.09. COBISS.SI-ID 201394179.
[2] ČREPNJAK, Matevž, KAC, Teja. Uncountable family of 0-rigid continua that are homeomorphic to their inverse limits. Qualitative theory of dynamical systems. 2023, vol. 22, iss. 2, article no. 80. DOI: 10.1007/s12346-023-00777-0. COBISS.SI-ID 150129923.
[3] ČREPNJAK, Matevž, SOVIČ, Tina. Characterizing inverse sequences for which their inverse limits are homeomorphic. Acta mathematica Hungarica. 2024, vol. 172, iss. 1, str. 42–61. DOI: 10.1007/s10474-024-01394-2. COBISS.SI-ID 188657411.
[4] ČREPNJAK, Matevž, SOVIČ, Tina. Sensitivity and cofinite sensitivity for Mahavier dynamical systems. Journal of difference equations and applications. 2025, vol. 31, iss. 7, str. 1010–1029. DOI: 10.1080/10236198.2025.2502051. COBISS.SI-ID 237037571.
C2 – Hénonovi atraktorji
Cilj: Raziskati topološke in dinamične lastnosti Hénonovih atraktorjev.
Razviti so bili teoretični pristopi za analizo Mahavierjevih sistemov, tranzitivnosti in strukture čudnih atraktorjev. Ti rezultati predstavljajo pomembno osnovo za razumevanje topoloških modelov Hénonovih atraktorjev in nadaljnje klasifikacijske pristope [5]–[6]. Tudi objava [3] sodi dodatno v sklop C2.
Reference (C2):
[5] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, GREENWOOD, Sarah, KENNEDY, Judy A. Transitive points in CR-dynamical systems. Topology and its Applications. 2023, vol. 326, article no. 108407. COBISS.SI-ID 150126083.
[6] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, JELIĆ, Ivan, KENNEDY, Judy A. Specification in Mahavier systems via closed relations. Topology and its Applications. 2026, vol. 381, article no. 109742. COBISS.SI-ID 272047363.
C3 – Rigidnost in fleksibilnost homeomorfizmov na kontinuumih
Cilj: Preučiti rigidnost in fleksibilnost homeomorfizmov na enodimenzionalnih kontinuumih.
V tem sklopu so bili cilji doseženi in deloma preseženi. Razvit je bil obsežen nabor rezultatov o tranzitivnosti, minimalnosti, entropiji in kaotičnem obnašanju na kontinuumih. Dosežen je bil prebojni rezultat v obliki rešitve dolgo odprte Bargeove domneve [17], ki predstavlja enega ključnih prispevkov k razumevanju fleksibilnosti dinamičnih sistemov na psevdo-loku. Ta rezultat bistveno nadgrajuje obstoječo teorijo in odpira nove smeri raziskav. Pomemben prispevek predstavlja tudi analiza homeomorfizmov psevdo-loka z ničelno entropijo [18]. Posebej velja poudariti vključitev mlajšega raziskovalca R. Grila Rogine, ki je pomembno prispeval k raziskavam v tem sklopu [11]–[14].
Reference (C3):
[7] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, KENNEDY, Judy A. The Lelek fan as the inverse limit of intervals with a single set-valued bonding function whose graph is an arc. Mediterranean journal of mathematics. 2023, vol. 20, no. 3, article no. 159. COBISS.SI-ID 148424195.
[8] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, KENNEDY, Judy A. A transitive homeomorphism on the Lelek fan. Journal of difference equations and applications. 2023, vol. 29, no. 4, str. 393–418. COBISS.SI-ID 151598851.
[9] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, KENNEDY, Judy A., NALL, Van. Quotients of dynamical systems and chaos on the Cantor fan. Journal of dynamical and control systems. 2024, vol. 30, iss. 3, article no. 33. COBISS.SI-ID 206023427.
[10] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, KENNEDY, Judy A., MOURON, Christopher, NALL, Van. Transitive mappings on the Cantor fan. Ergodic theory & dynamical systems. 2025, vol. 45, iss. 9, str. 2601–2635. COBISS.SI-ID 227915523.
[11] BANIČ, Iztok, GRIL ROGINA, Rene, KENNEDY, Judy A., NALL, Van. Sufficient conditions for non-zero entropy of closed relations. Ergodic theory & dynamical systems. 2024, vol. 44, iss. 11, str. 3091–3119. COBISS.SI-ID 188433667.
[12] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, GRIL ROGINA, Rene, KENNEDY, Judy A. Minimal dynamical systems with closed relations. Glasnik matematički. Serija 3. 2024, vol. 59, no. 2, str. 479–505. COBISS.SI-ID 228000771.
[13] GRIL ROGINA, Rene, BRIAN, Will. The classification of two lines Mahavier products. Journal of dynamical and control systems. 2025, vol. 31, iss. 1, article no. 2. COBISS.SI-ID 243863299.
[14] BRIAN, Will, GRIL ROGINA, Rene. Endpoint-homogeneous fans. Fundamenta mathematicae. 2026, vol. 272, no. 1, str. 25–56. COBISS.SI-ID 264764931.
[15] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, KENNEDY, Judy A., MOURON, Christopher, NALL, Van. Chaos and mixing homeomorphisms on fans. Journal of difference equations and applications. 2025, vol. 31, no. 1. COBISS.SI-ID 204808451.
[16] BANIČ, Iztok, ERCEG, Goran, KENNEDY, Judy A. An embedding of the Cantor fan into the Lelek fan. Rad Hrvatske akademije znanosti i umjetnosti. 2025, vol. 29 = 564, str. 221–229. COBISS.SI-ID 227891971.
[17] BOROŃSKI, Jan P., ČINČ, Jernej, OPROCHA, Piotr, KOZLOWSKI, George. Beyond 0 and infinity: a solution to the Barge entropy conjecture. Transactions of the American Mathematical Society. 2026, vol. 379, no. 4, str. 2441–2484. COBISS.SI-ID 269105155.
[18] ČINČ, Jernej. On zero entropy homeomorphisms of the pseudo-arc. Qualitative theory of dynamical systems. 2024, vol. 23, iss. 1, suppl., article no. 283. COBISS.SI-ID 209308675.
C4 – Parametrizirane družine psevdolokov in psevdo-krožnic
Cilj: Konstruirati in analizirati parametrizirane družine dinamičnih sistemov s kompleksnimi atraktorji.
V tem sklopu so bili cilji doseženi in v pomembni meri preseženi. Razvita je bila parametrizirana družina homeomorfizmov s psevdo-krožnicami kot atraktorji [19], kar predstavlja enega prvih sistematičnih pristopov k konstrukciji takšnih sistemov z bogato dinamiko. Rezultati vključujejo tudi pomembne prispevke k razumevanju generičnih lastnosti dinamičnih sistemov [20] ter njihovega merskoteoretičnega vidika [21]. Posebej velja izpostaviti povezavo z matematično fiziko prek analize topološke entropije v biljardnih sistemih [22].
Reference (C4):
[19] ČINČ, Jernej, OPROCHA, Piotr. Parameterized family of annular homeomorphisms with pseudo-circle attractors. Journal of differential equations. 2024, vol. 407, str. 102–132. COBISS.SI-ID 200659459.
[20] BOBOK, Jozef, ČINČ, Jernej, OPROCHA, Piotr, TROUBETZKOY, Serge. Are generic dynamical properties stable under composition with rotations? Proceedings of the American Mathematical Society. 2024, vol. 152, no. 7, str. 3011–3026. COBISS.SI-ID 197078275.
[21] BOBOK, Jozef, ČINČ, Jernej, OPROCHA, Piotr, TROUBETZKOY, Serge. Continuous Lebesgue measure-preserving maps on one-dimensional manifolds: a survey. Topology and its Applications. 2025, vol. 364, article no. 109101. COBISS.SI-ID 269116675.
[22] ČINČ, Jernej, TROUBETZKOY, Serge. An upper bound on topological entropy of the Bunimovich stadium billiard map. Journal of statistical physics. 2023, vol. 190, iss. 8, article no. 148. COBISS.SI-ID 162535683.
C5 – Diseminacija rezultatov in mednarodno sodelovanje
Cilj: Zagotoviti mednarodno diseminacijo rezultatov, okrepiti sodelovanje s tujimi partnerji ter vključevati mlajše raziskovalce.
Diseminacija rezultatov je bila zelo uspešna. Rezultati projekta so bili predstavljeni na številnih mednarodnih konferencah, seminarjih in delavnicah, vključno z več vabljenimi predavanji, kar potrjuje visoko mednarodno prepoznavnost raziskovalne skupine. Projekt je imel izrazito mednarodno razsežnost tudi prek sodelovanja s tujimi partnerji ter organizacije treh mednarodnih znanstvenih srečanj v Mariboru (2024–2026). V projekt so bili aktivno vključeni tudi mlajši raziskovalci, ki so sodelovali pri objavah in predstavitvah rezultatov.
Vabljena predavanja:
[23] ČINČ, Jernej. Generic properties of Lebesgue measure-preserving maps on one-dimensional manifolds. Conference on Generic Structures 2023. COBISS.SI-ID 190587139.
[24] ČINČ, Jernej. Lebesgue measure-preserving maps on one-dimensional manifolds. Trieste Tangles 2023. COBISS.SI-ID 190532355.
[25] ČINČ, Jernej. On typical properties of Lebesgue measure-preserving circle maps. Smooth and Topological Dynamics 2023. COBISS.SI-ID 190515459.
[26] ČINČ, Jernej. Parameterized families of surface homeomorphisms with pseudo-arc and pseudo-circle attractors. Surfaces in Banyuls 2023. COBISS.SI-ID 190595331.
[27] ČINČ, Jernej. On homeomorphisms of the Lelek fence. Dubrovnik X – Topology & Dynamical Systems 2024. COBISS.SI-ID 208035075.
[28] ČREPNJAK, Matevž. On a generalization of the Ingram conjecture. 58th Spring Topology and Dynamics Conference 2025. COBISS.SI-ID 237385475.
[29] BANIČ, Iztok. Mahavier products and Mahavier dynamical systems. 58th Spring Topology and Dynamics Conference 2025. COBISS.SI-ID 229755651.
[30] ČINČ, Jernej. On chaotic planar attractors. Konferenca slovenskih matematikov 2025. COBISS.SI-ID 271905539.
[31] ČINČ, Jernej. Dynamics on fences. Colloquium talk, Centro de Matemática, Universidad de la República, Montevideo, Uruguay, 22. 8. 2025. COBISS.SI-ID 271898883.
[32] ČINČ, Jernej. Dynamics on fences. Invited lecture, Dynamical Systems Seminar, Faculty of Mathematics, Jagiellonian University, Krakow, Poland, COBISS.SI-ID 271898115.
[33] ČINČ, Jernej. Od fizikalnih procesov do matematike in nazaj. Matematično raziskovalno srečanje MaRS 2024, COBISS.SI-ID 208353795.
Prispevki na konferencah:
[34] BANIČ, Iztok. An inverse limit of Cantor fans. STDC 2023. COBISS.SI-ID 162814467.
[35] ČINČ, Jernej. Interval maps with dense periodicity. STDC 2024. COBISS.SI-ID 190849027.
[36] ČREPNJAK, Matevž. Uncountable family of 0-rigid continua that are homeomorphic to their inverse limits. STDC 2023. COBISS.SI-ID 150471427.
[37] GRIL ROGINA, Rene. End-point-generated smooth fans. STDC 2024. COBISS.SI-ID 191314435.
[38] KAC, Teja. On rigid continua and inverse limits. SumTopo 2023. COBISS.SI-ID 191304963.
[39] KAC, Teja. Inverse limits with Markov set-valued functions. STDC 2024. COBISS.SI-ID 191305475.
[40] SOVIČ, Tina. (Strong) sensitive dependence on initial conditions of Mahavier dynamical systems. SumTopo 2024. COBISS.SI-ID 235082499.
[41] ČINČ, Jernej. Dynamics on fences. STDC 2026. COBISS.SI-ID 272208131.
[42] GRIL ROGINA, Rene. Plane continua, canals and dead ends. STDC 2026. COBISS.SI-ID 272690435.
Ostali rezultati projekta so članki, ki so v recenzentskem procesu ali pa v zadnjih fazah priprave.
Članki v recenzentskem procesu:
[43] BOBOK, Jozef; ČINČ, Jernej; TROUBETZKOY, Serge; OPROCHA, Piotr. Interval maps with dense periodicity. arXiv:2402.05638, februar 2024.
[44] BOBOK, Jozef; ČINČ, Jernej; ROUBETZKOY, Serge; OPROCHA, Piotr. On Lebesgue measure preserving Besicovitch functions. arXiv:2602.19800, februar 2026.
Članki v nastajanju:
[45] BANIČ, Iztok; ČREPNJAK, Matevž; ERCEG, Goran; JELIĆ, Ivan; KENNEDY, Judy A. Bridging Closed Relations and Shift Systems: A Trichotomy of CR-Dynamical Properties.
[46] ALVIN, Lori; BOROŃSKI, Jan; ČREPNJAK, Matevž; ČINČ, Jernej; KAC, Teja. Inverse limits of Arnol’d family.
[47] ČINČ, Jernej; DARJI, Udayan B.; VEJNAR, Benjamin. Dynamics on fences.
[48] ALVIN, Lori; ČINČ, Jernej. On wild attractors and relation between different types of recurrence for unimodal maps.
[49] ČINČ, Jernej; GRIL ROGINA, Rene. Planar embeddings and simple dense canals.
[50] ANUŠIĆ, Ana; ČINČ, Jernej; DE CARVALHO, André. Laminated points of strange attractors.
[51] ČREPNJAK, Matevž; KAC, Teja; SOVIČ, Tina. Uncountable family of rigid continua with arbitrary continuum.
[52] ČREPNJAK, Matevž; KAC, Teja. Wandering points in CR-dynamical systems.
